[2014년 운정고]

--

[1학년 1학기 중간]

다음 중 다항식 [eqn: (x-4)(x-3)(x+4)(x+5)-180]의 인수가 아닌 것은? [3.4점]

④

① [eqn: x-5]	② [eqn: x-1]	③ [eqn: x+2]

④ [eqn: x+3]	⑤ [eqn: x+6]

두 다항식 [eqn: A=5x^2 +3xy+y^2], [eqn: B=x^2 -xy+3y^2]에 대하여
[eqn: A-2X=3B]를 만족하는 다항식 [eqn: X]는? [3.4점]

④

① [eqn: 2x^2 +6xy-8y^2]	② [eqn: 2x ^{2} -6xy+8y ^{2}]

③ [eqn: x ^{2}-3xy-4y ^{2}]	④ [eqn: x^2 +3xy-4y^2]

⑤ [eqn: -x^2 +3xy-4y^2]

[eqn: x +y=-1], [eqn: x^2 +y^2 =7]일 때, [eqn: x^5 +y^5 +2x^3 y^2 +2x^2 y^3]의 값은?
[3.9점]

①

① [eqn: -79]	② [eqn: -61]	③ [eqn: -19]

④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: 9]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-11# ``````````=a(1-x)(x-2)(3-x)-b(x-1)(2-x)-c(1-x)+d]
가 성립한다. 네 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 합 [eqn: a+b+c+d]의 값은? [3.4점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 +3x+2]로 나누면 나누어 떨어지고, [eqn: x^2 +x-2]로 나누면 나머지가 [eqn: 2x+4]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x^3 +2x^2 -x-2]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(1)]의 값은? [3.6점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -5]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x^2 -x +1]로 나눈 나머지를 [eqn: R(A)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

③

ㄱ. [eqn: R(x^10 +x+1)=1]

ㄴ. [eqn: R(x^6 +x+1)=R(x^9 +x+1)]

ㄷ. 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n=6k+4]이면

[eqn: R(x^n +x+1)=1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z], [eqn: omega]가 복소수일 때, 옳은 것은? (단, [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레 복소수이다.) [3.4점]

③

① [eqn: z+ { 1} over {z }]이 실수이면, [eqn: z barz =1]이다.

② [eqn: z^2 +omega^2 =0]이면, [eqn: z=0], [eqn: omega=0]이다.

③ [eqn: omega=barz]이면, [eqn: z+omega], [eqn: z omega] 모두 실수이다.

④ [eqn: z^2]이 실수이면, [eqn: (z+1)^2]도 실수이다.

⑤ 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: (z-barz )^n]은 실수이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: { rootb} over {roota }=-root{b overa]를 만족할 때, 옳은 것은? [3.9점]

④

① [eqn: root{a^2 b} =a rootb]

② [eqn: roota over rootb =-root{a over b}]

③ [eqn: (rootab )^2 =-ab]

④ [eqn: roota root-b =-root-ab]

⑤ [eqn: root(b-a)^2 -roota^2 =b-2a]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +2(k-a)x+k^2 +4k-b+3=0]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 중근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은? (단, 계수는 실수) [3.6점]

①

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: k^2 x^2 +(k+4)x+k-2=0]이 서로 다른 부호의 두 실근을 갖고 음의 근이 절댓값이 양의 근의 절댓값보다 클 때, 정수 [eqn: k]의 개수는? [3.9점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b]의 그래프가 직선 [eqn: y=3x-2]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=-x+1]의 그래프와는 접한다고 한다. 이를 만족하는 정수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: p]라 하고 그 때의 [eqn: b]를 [eqn: q]라고 할 때, [eqn: p+q]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: -{13over2]	② [eqn: -{3over2]	③ [eqn: -{3over4]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1over2]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +2f(t)x-3f(t)=0]에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르면? [4.1점]

③

ㄱ. [eqn: f(t)]의 값이 최소일 때, 서로 다른 두 허근을

갖는다.

ㄴ. 중근을 갖게 하는 서로 다른 실수 [eqn: t]는 [eqn: 6]개이다.

ㄷ. [eqn: t>5]일 때 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 밑변의 길이가 [eqn: 12], 높이가 [eqn: 9]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 직사각형 [eqn: rmDEFG]의 넓이의 최댓값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 27]

방정식 [eqn: x^3 +1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: baromega]는 [eqn: omega]의 켤레복소수이다.) [3.9점]

②

ㄱ. [eqn: omega^2014 =omega]

ㄴ. [eqn: omega^3 overomega-1 -baromega^4 =1]

ㄷ. [eqn: omega^4n +(1-omega)^4n +1=0]을 만족시키는 [eqn: 20] 이하의

자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 12]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

사차방정식 [eqn: x ^{4} -4x ^{2} +2a+4=0]이 서로 다른 네 실근을 가질 때, 정수 [eqn: a]의 최댓값은? [4.1점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

연립방정식
[eqn: cases{ x(y+z-x)=27-2x^2 # y(z+x-y)=18-2y^2 #z(x+y-z)=36-2z^2 }]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta], [eqn: z=gamma]라고 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2 +gamma^2]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

서술형

세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: f(x,```y,```z)=(x-y)(x-z)]이라 하자. [eqn: x+y+z=6], [eqn: f(x,```y,```z)+f(y,```z,```x)+f(z,```x,```y)=0]일 때, [eqn: xy+z]의 값을 구하시오. [10.0점]

[eqn: 6]

[eqn: x]에 대한 두 이차방정식이 다음 조건을 만족할 때, 근과 계수와의 관계를 이용하여 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 구하고, [eqn: m], [eqn: n]을 두 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하시오. (단, [eqn: m]은 양수) [10.0점]

[eqn: x^2 -1=0]

[eqn: circ] [eqn: x^2 +(1-4m)x+2m^2 -4m+2=0]의

두 근의 차는 [eqn: 3]이다.

[eqn: circ] [eqn: x^2 -(3n-6)x+(13-5n)=0]의

두 정수근의 비는 [eqn: 1:2]이다.

이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2f(x)+f(2-x)=3x^2]일 때, [eqn: -4 LEQx LEQ3]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. [10.0점]

[eqn: -8], [eqn: 17]

한 모서리의 길이가 [eqn: x{rmm}]인 정육면체를 아래 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 [eqn: 1{rmm}]이고 높이가 [eqn: x{rmm}]인 직육면체 모양으로 구멍을 파내었더니 남은 부분의 부피가 [eqn: 60{rmm}^3]가 되었다. 이때, [eqn: x]의 값을 구하시오. [10.0점]

[eqn: 4]

[2014년 운정고]

[1학년 1학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com